А значок "очищать Корзину" стоит?

написано, что корзина автоматически удаляет. Но письма удаляются из "входящих". А корзина всегда пуста.

почтовая программа или мейлру веб интерфейс?

Hellraiser-ru, если честно, то я понятия не имею что это и в чем разница
просто заходим на почту во "входящие", а там нет ничего. И в корзине пусто

Пытать маму на тему переадресации и почтовой программы. Очень похоже на то, что некий ящик/программа проверяет почту вашей мамы и в его настройках стоит "не сохранять письма на сервере" или аналогичное. Смените пароль - как правило, все эти фокусы требуют пароля.
Если смена пароля при том, что почта с паролем с этого момента нигде не вводится (если требует - пусть мама предварительно консультируется с вами хотя бы), не помогает - тогда ХЗ, может и взлом. Думаю тогда лучше в техподдержку самой почты - там, по идее, необъяснимым исчезновением писем должны бы заинтересоваться

да что за почтовая программа? и какого почему она смотрит почту?

Например, на работе у мамы стоит что-то из программ для работы с почтой: Outlook, The Bat!, Mozilla Thunderbird.
В них можно настроить удаление писем с сервера через определённое время, если стоит опция "Удалить письма с сервера".

Как вариант - смените на ящике пароль. Желательно на сложный.

почта через браузер - это веб интерфейс,
когда вы набираете www.mail.ru и в почте работаете.

почтовые программы - это аутлук, аутлук экспресс, бат и им подобные программы для работы с почтой.

Спасибо, попробуем сменить пароль
работаем дома и через браузер